题目内容

（1）求离心率为 $数学公式$ ，且与双曲线 $数学公式$ 有公共焦点的椭圆的标准方程．
（2）求一条渐近线为2x+3y=0且焦点到渐近线的距离为2的双曲线的标准方程．

解：（1）∵椭圆与双曲线 $\text{[math]}$ 有公共焦点，且双曲线的焦点为（ $\text{[math]}$ ，0），
∴设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，满足a²-b²=5…①
又∵椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …②
联解①②，得 $\text{[math]}$ ，故所求椭圆的方程为 $\text{[math]}$
（2）∵双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，
∴设其标准方程为4x²-9y²=λ，
化成标准方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（λ＞0）或 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（λ＜0）
∵双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得b=2
∴当λ＞0时， $\text{[math]}$ =4可得λ=36，双曲线标准方程为 $\text{[math]}$ ；
当λ＜0时， $\text{[math]}$ =4可得λ=-16，双曲线标准方程为 $\text{[math]}$
综上所述，双曲线的标准方程为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：（1）根据题意设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，可得c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，联解可得a、b的值，从而得到所求椭圆的方程；
（2）设双曲线的标准方程为4x²-9y²=λ，根据λ＞0和λ＜0时两种情况加以讨论，分别解关于λ的方程，可得λ的值，代入所设方程再化成标准方程，即可得到所求双曲线的标准方程．
点评：本题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的标准方程，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．