Question

（1）求离心率为

5

3

，且与双曲线

x2

4

-y2=1有公共焦点的椭圆的标准方程．
（2）求一条渐近线为2x+3y=0且焦点到渐近线的距离为2的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得c=

a2-b2

=

5

且

c

a

=

5

3

，联解可得a、b的值，从而得到所求椭圆的方程；
（2）设双曲线的标准方程为4x²-9y²=λ，根据λ＞0和λ＜0时两种情况加以讨论，分别解关于λ的方程，可得λ的值，代入所设方程再化成标准方程，即可得到所求双曲线的标准方程．

解答：解：（1）∵椭圆与双曲线

x2

4

-y2=1有公共焦点，且双曲线的焦点为（±

5

，0），
∴设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，满足a²-b²=5…①
又∵椭圆离心率为

5

3

，∴

c

a

=

5

3

…②
联解①②，得

a=3 b=2

，故所求椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1
（2）∵双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，
∴设其标准方程为4x²-9y²=λ，
化成标准方程为

x2

λ 4

-

y2

λ 9

=1（λ＞0）或

y2

- λ 9

-

x2

- λ 4

=1（λ＜0）
∵双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得b=2
∴当λ＞0时，

λ

9

=4可得λ=36，双曲线标准方程为

x2

9

-

y2

4

=1；
当λ＜0时，-

λ

4

=4可得λ=-16，双曲线标准方程为

y2

16 9

-

x2

4

=1
综上所述，双曲线的标准方程为

x2

9

-

y2

4

=1或

y2

16 9

-

x2

4

=1

点评：本题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的标准方程，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．