Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（

2

2

，1），离心率为

2

2

，斜率为k（k≠0）的直线l经过椭圆的上焦点F且与椭圆交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴交于点M（0，m），与x轴交于点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）记△MPQ，△NMF的面积分别为S₁、S₂，若S₁=6S₂，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（

2

2

，1），离心率为

2

2

，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，确定PQ的方程，令x=0可得m=

1

2+k2

，从而可求m的取值范围；
（3）求出N(

k

2+k2

，0)，M（0，

1

2+k2

），利用韦达定理求出|x₁-x₂|，进而表示出面积，利用S₁=6S₂，建立方程，即可求得直线的方程．

解答：解：（1）由题意可得

c a = 2 2 1 2b2 + 1 a2 =1 a2-b2=c2

，∴a=

2

，b=1，c=1
∴椭圆C的方程为x2+

y2

2

=1；
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k²）x²+2kx-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2k

2+k2

，x₁x₂=-

1

2+k2

，y₁+y₂=

4

2+k2

∴PQ的中点坐标为（-

2k

2+k2

，

2

2+k2

）
∴PQ的方程为y=-

1

k

(x+

k

2+k2

)+

2

2+k2

①
令x=0可得m=

1

2+k2

，∴M（0，

1

2+k2

）
∵k≠0，∴m∈（0，

1

2

）；
（3）在①中，令y=0可得：x=

k

2+k2

，∴N(

k

2+k2

，0)
由（2）得，M（0，

1

2+k2

），|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 × 1+k2

2+k2

∴S1=

1

2

|MF||x₁-x₂|=

2

(1-m)

m(1-m)

S2=

1

2

|MF||NO|=

1

2

(1-m)

m(1-m)

∵S₁=6S₂
∴

2

(1-m)

m(1-m)

=3(1-m)

m(1-m)

∴m=

7

16

∴k=±

14

7

∴l的方程为y=±

14

7

x+1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示面积是关键．