题目内容
（1）求离心率为
，且与双曲线
-y2=1有公共焦点的椭圆的标准方程．
（2）求一条渐近线为2x+3y=0且焦点到渐近线的距离为2的双曲线的标准方程．
| ||
| 3 |
| x2 |
| 4 |
（2）求一条渐近线为2x+3y=0且焦点到渐近线的距离为2的双曲线的标准方程．
（1）∵椭圆与双曲线
-y2=1有公共焦点，且双曲线的焦点为（±
，0），
∴设椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)，满足a2-b2=5…①
又∵椭圆离心率为
，∴
=
…②
联解①②，得
，故所求椭圆的方程为
+
=1
（2）∵双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，
∴设其标准方程为4x2-9y2=λ，
化成标准方程为
-
=1（λ＞0）或
-
=1（λ＜0）
∵双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得b=2
∴当λ＞0时，
=4可得λ=36，双曲线标准方程为
-
=1；
当λ＜0时，-
=4可得λ=-16，双曲线标准方程为
-
=1
综上所述，双曲线的标准方程为
-
=1或
-
=1
| x2 |
| 4 |
| 5 |
∴设椭圆的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
又∵椭圆离心率为
| ||
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
联解①②，得
|
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（2）∵双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，
∴设其标准方程为4x2-9y2=λ，
化成标准方程为
| x2 | ||
|
| y2 | ||
|
| y2 | ||
-
|
| x2 | ||
-
|
∵双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得b=2
∴当λ＞0时，
| λ |
| 9 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
当λ＜0时，-
| λ |
| 4 |
| y2 | ||
|
| x2 |
| 4 |
综上所述，双曲线的标准方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
| y2 | ||
|
| x2 |
| 4 |
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