Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线l₁过点F₁且与椭圆C的长轴垂直，动直线l₂与直线l₁垂直，垂足为P，线段PF₂的垂直平分线与直线l₂交于点M，记M的轨迹为曲线D，设曲线D与x轴交于点Q，不同的两个动点R，S在曲线D上，且满足$\overrightarrow{QR}$•$\overrightarrow{QS}$=5．
（i）求证：直线RS恒过定点；
（ii）当直线RS与x轴正半轴相交时，求△QRS的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．可得$\frac{|0-2|}{\sqrt{2}}$=b，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）（i）依题意得MP=MF₂，M的轨迹是抛物线，其方程为y²=4x，其与x轴的交点为原点，即Q（0，0）．可设RS的方程为x=my+n，与抛物线方程联立得y²-4my-4n=0，设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），把根与系数的关系代入$\overrightarrow{QR}•\overrightarrow{QS}=5$，整理化简即可得出．
（ii）利用三角形面积计算公式、函数的性质即可得出．

解答 解：（1）∵直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．∴$\frac{|0-2|}{\sqrt{2}}$=b，可得b=$\sqrt{2}$．
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，联立解得a=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）（i）证明：依题意得MP=MF₂，∴M到定直线l₁：x=-1的距离等于其到定点F₂（1，0）的距离，
∴M的轨迹是抛物线，其方程为y²=4x，其与x轴的交点为原点，即Q（0，0）．
显然RS的斜率不为0，设RS的方程为x=my+n，与抛物线方程联立得y²-4my-4n=0，
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，△=16（m²+n）＞0，
∵$\overrightarrow{QR}•\overrightarrow{QS}=5$，
∴x₁x₂+y₁y₂=5，即$（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+mn（{y_1}+{y_2}）+{n^2}=5$，
∴-4n（m²+1）-4m²n+n²=5，化为n²-4n-5=0，
解得n=5或-1，
当n=5时，适合△＞0；当n=-1时，存在m使得△＞0．
∴RS的方程为x=my+4或x=my-1，
∴RS恒过定点（5，0）或（-1，0）．
（ii）由（i）得△RQS的面积为$\frac{5}{2}|{y_1}-{y_2}|=10\sqrt{{m^2}+5}≥10\sqrt{5}$，当且仅当m=0时取等号．
∴△RQS的面积的取值范围是$[10\sqrt{5}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、数量积运算性质、三角形面积计算公式、二次函数的单调性、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．