Question

7．已知函数f （x）=x²-x|x-a|-3a，a≥3．若函数f （x）恰有两个不同的零点x₁，x₂，则|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，1]
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 当a≥3的取值范围结合函数f（x）有两个零点，利用韦达定理写出x₁+x₂，x₁•x₂的表达式，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：f （x）=x²-x|x-a|-3a=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-ax-3a，}&{x≤a}\\{ax-3a，}&{x＞a}\end{array}\right.$，a≥3，
当x＞a＞3，令f（x）=0，ax-3a=0，x=3，不满足，
x≤a时，函数f （x）恰有两个不同的零点x₁，x₂，
令f（x）=0，则可得x₁，x₂是方程2x²-ax-3a=0的两个根，
则：x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{3a}{2}$，
|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|=$\frac{丨{x}_{1}-{x}_{2}丨}{{丨x}_{1}{x}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}}{{丨x}_{1}{x}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+24a}}{3a}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{1+\frac{24}{a}}$∈（$\frac{1}{3}$，1]，
故答案选：C．

点评 本题主要考查函数单调性和函数零点的应用，根据分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．