Question

17．四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），AD∥BC，PD=$\sqrt{3}$a，∠DAB=θ
（Ⅰ）若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；
（Ⅱ）若θ=90°，AB=$\sqrt{3}$a，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA∥平面DMN．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 连结BD，△ABD中，由余弦定理可求$BD=\sqrt{3}a$，证明BC⊥平面PBD，BC?平面PBC，可得平面PBD⊥平面PBC，又$PD=BD=\sqrt{3}a$，Q为PB中点，可得DQ⊥PB，即可由DQ⊥平面PBC，PC?平面PBC，证明DQ⊥PC．
（Ⅱ） 连结AM，AC，设AC∩DM=O，先证明DAMC为平行四边形，由中点得ON∥PA，可证明PA∥平面DMN．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ） 连结BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，
由余弦定理：BD²=DA²+AB²-2DA•ABcos60°，
解得$BD=\sqrt{3}a$，
所以△ABD为直角三角形，BD⊥AD，
因为AD∥BC，所以BC⊥BD，
又因为PD⊥平面ABCD，
所以BC⊥PD，因为PD∩BD=D，
所以BC⊥平面PBD，BC?平面PBC，
所以，平面PBD⊥平面PBC，
又因为$PD=BD=\sqrt{3}a$，Q为PB中点，
所以DQ⊥PB，
因为平面PBD∩平面PBC=PB，
所以DQ⊥平面PBC，PC?平面PBC，
所以DQ⊥PC．…（6分）
（Ⅱ） 当N为PC中点时，PA∥平面DMN；
证明：连结AM，AC，设AC∩DM=O
先证明DAMC为平行四边形，由中点得ON∥PA
可证明PA∥平面DMN．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，平面与平面垂直的性质，考查了棱锥的结构特征，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．