Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC₁的中点．求证：
（Ⅰ） EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ） 平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥BC₁，由此能证明EF∥平面A₁BC₁．
（Ⅱ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得AE⊥BB₁，由正三角形性质得AE⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

解答 证明：（Ⅰ）因为E，F分别是BC，CC₁的中点，
所以EF∥BC₁．
又因为BC₁?平面A₁BC₁，EF?平面A₁BC₁，
所以EF∥平面A₁BC₁．（6分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以BB₁⊥平面ABC．又AE?平面ABC，
所以AE⊥BB₁．
又因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，
所以AE⊥BC．
又BB₁∩BC=B，所以AE⊥平面BCC₁B₁．
又AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC₁B₁．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．