题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，f′（x）为其导函数，若f′（x）为偶函数且f（x）在x=2处取得极值d-16
（I）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值20，求f（x）在区间[-3，3]上的最小值．
（I）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值20，求f（x）在区间[-3，3]上的最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，
即可求解a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）根据导数判断单调性得出f（x）=x3-12x+d，在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，再求出d，即可判断最值，求出来．
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（Ⅱ）根据导数判断单调性得出f（x）=x3-12x+d，在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，再求出d，即可判断最值，求出来．
解答：
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵f′（x）为偶函数，
∴b=0，
∵f（x）在x=2处取得极值d-16，
∴
∴
解得：
，
∴a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）f（x）=x3-12x+d，
f′（x）=3x2-12，
∵f′（x）=3x2-12=0，x=2或x=-2，
∴当x∈（2，+∞）（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）=x3-12x+d，在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，
∴f（-2）=16+d=20，d=4，
f（-3）=13，f（2）=-12，
∴f（x）在区间[-3，3]上的最小值为-12．
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵f′（x）为偶函数，
∴b=0，
∵f（x）在x=2处取得极值d-16，
∴
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∴
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解得：
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∴a=1，b=0，c=-12，
（Ⅱ）f（x）=x3-12x+d，
f′（x）=3x2-12，
∵f′（x）=3x2-12=0，x=2或x=-2，
∴当x∈（2，+∞）（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）=x3-12x+d，在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，
∴f（-2）=16+d=20，d=4，
f（-3）=13，f（2）=-12，
∴f（x）在区间[-3，3]上的最小值为-12．
点评：本题考查了导数在函数单调性，闭区间上的最大值，最小值的应用，属于难题，注意确定准极值点，最值点．
练习册系列答案
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正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{
1，
2，
3}为基底，
=
+
+
，则x，y，z的值是（ ）
| AO |
| AO |
| AO |
| AC′ |
| xAO1 |
| yAO2 |
| zAO3 |
| A、x=y=z=1 | ||||
B、x=y=z=
| ||||
C、x=y=z=
| ||||
| D、x=y=z=2 |
若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（ ）
| A、2个 | B、3个 | C、4个 | D、6个 |