Question

6．在某学校组织的一次智力竞赛中，比赛共分为两个环节，其中第一环节竞赛题有A、B两组题，每个选手最多有3次答题机会，答对一道A组题得20分，答对一道B组题得30分．选手可以任意选择答题的顺序，如果前两次得分之和超过30分即停止答题，进入下一环节比赛，否则答3次．某同学正确回答A组题的概率都是p，正确回答B组题的概率都是$\frac{1}{4}$，且回答正确与否相互之间没有影响．该同学选择先答一道B组题，然后都答A组题．已知第一环节比赛结束时该同学得分超过30分的概率为$\frac{5}{9}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）用ξ表示第一环节比赛结束后该同学的总得分，求随机变量ξ的数学期望；
（Ⅲ）试比较该同学选择都回答A组题与选择上述方式答题，能进入下一环节竞赛的概率的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A为“该同学答对一道A组题”，事件B为“该同学答对一道B组题”，且事件A，B相互独立，由题意，得：P（$\overline{B}AAA+B\overline{A}A+BA$）=P（$\overline{B}AA$）+P（B$\overline{A}A$）+P（BA）=$\frac{5}{9}$，由此能求出p．
（Ⅱ）依题意ξ的可能取值为0，20，30，40，50．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望．
（Ⅲ）设事伯C为“该同学选择都回答A组且得分超过30分”，求出P（C）；该同学先回答B组题接着都回答A组题得分大于30分的概率为$\frac{5}{9}$，从而得到该同学都回答A组题能进入下一环节竞赛的概率较大．

解答 解：（Ⅰ）设事件A为“该同学答对一道A组题”，事件B为“该同学答对一道B组题”，且事件A，B相互独立，
P（A）=p，P（$\overline{A}$）=1-p，P（B）=$\frac{1}{4}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{3}{4}$，
由题意，得：P（$\overline{B}AAA+B\overline{A}A+BA$）=P（$\overline{B}AA$）+P（B$\overline{A}A$）+P（BA）=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{3}{4}{p}^{2}+\frac{1}{4}p（1-p）+\frac{1}{4}p$=$\frac{5}{9}$，即9p²+9p-10=0，
解得p=$\frac{2}{3}$或p=-$\frac{5}{3}$（舍），
∴p=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）依题意ξ的可能取值为0，20，30，40，50．
P（ξ=0）=$P（\overline{B}\overline{A}\overline{A）}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=20）=$P（\overline{B}A\overline{A}+\overline{B}\overline{A}A$）=$2×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{3}$，
P（ξ=30）=P（B$\overline{A}\overline{A}$）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
P（ξ=40）=$P（\overline{B}AA）$=$\frac{3}{4}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=50）=P（$B\overline{A}A+BA$）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
ξ的分布列为：

ξ	0	20	30	40	50
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{12}+20×\frac{1}{3}+30×\frac{1}{36}+40×\frac{1}{3}+50×\frac{2}{9}$=$\frac{575}{18}$．
（Ⅲ）设事伯C为“该同学选择都回答A组且得分超过30分”，
则P（C）=P（$\overline{A}AA+A\overline{A}A+AA$）=2×$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$+（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{20}{27}$，
由已知得该同学先回答B组题接着都回答A组题得分大于30分的概率为$\frac{5}{9}$，
∵$\frac{20}{27}＞\frac{5}{9}$，∴该同学都回答A组题能进入下一环节竞赛的概率较大．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．