Question

4．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，P，Q是抛物线C的两点，且$∠PFQ=\frac{π}{3}$，弦PQ的中点E在准线上的射影为H，则$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可知，P，Q到抛物线：y²=8x的准线的距离为d₁和d₂，根据中点坐标公式，求得丨EH丨=$\frac{1}{2}$（丨PF丨+丨FQ丨），在△FPQ中，根据余弦定理丨PQ丨²丨PF丨²+丨FQ丨²-丨PF丨•丨FQ丨，$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{3丨PF丨丨FQ丨}{4（丨{PF丨}^{2}+丨FQ{丨}^{2}-丨PF丨•丨FQ丨）}$，由基本不等式的性质可知$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$≤1，即可求得$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$≤1，求得$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$的最大值．

解答 解：根据题意，设点P到抛物线C：y²=8x的准线的距离为d₁，点Q到该抛物线的准线的距离为d₂，
则丨EH丨=$\frac{1}{2}$（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$（丨PF丨+丨FQ丨），
在△FPQ中，根据余弦定理得：丨PQ丨²=丨PF丨²+丨FQ丨²-2丨PF丨•丨FQ丨cos∠PFQ，
=丨PF丨²+丨FQ丨²-丨PF丨•丨FQ丨，
$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$=$\frac{（丨PF丨+丨FQ丨）^{2}}{4（丨PF{丨}^{2}+丨{FQ丨}^{2}-丨PF丨丨FQ丨）}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{3丨PF丨丨FQ丨}{4（丨{PF丨}^{2}+丨FQ{丨}^{2}-丨PF丨•丨FQ丨）}$，
由均值不等式，丨PF丨²+丨FQ丨²≥2丨PF丨•丨FQ丨，
则$\frac{丨EH{丨}^{2}}{丨{PQ丨}^{2}}$≤1，那么$\frac{{|{EH}|}}{{|{PQ}|}}$≤1，当且仅当丨PF丨=丨FQ丨时等号成立．
故答案为：A．

点评 本题主要考查抛物线的性质以及余弦定理，考查基本不等式的用法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．