Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）设直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，推导出AD⊥面A₁BC，AD⊥BC，AA₁⊥BC，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，由此能证明AB⊥BC．
（2）连结CD，求出∠ACD是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，从而∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，由此能求出θ＜φ．

解答 证明：（1）过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
∵面A₁BC⊥面A₁ABB₁，面A₁BC∩面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥面A₁BC，
∵BC?平面A₁BC，∴AD⊥BC，
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AD=A，∴BC⊥侧面A₁ABB₁，
∵AB?面A₁ABB₁，∴AB⊥BC．
解：（2）连结CD，由（1）知∠ACD是直线AC与平面A₁BC所成的角，
又∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，
设∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，
在Rt△ADC中，sin$θ=\frac{AD}{AC}$，在Rt△ADB中，sinφ=$\frac{AD}{AB}$，
∵AB⊥BC，∴AB＜AC，∴sinθ＜sinφ，
∵$θ，φ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴θ＜φ．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角与二面角大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．