Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，.过的中点作于点，连接，.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1

【解析】

（1）先证明，接着证明平面，.然后运用线面垂直的判定定理求出结果

（2）分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出法向量，由公式计算出结果

（Ⅰ）∵平面，平面，

∴平面平面.

∵四边形是矩形，∴.

又∵平面平面，

∴平面，∴.

∵，为的中点，∴.

又∵，∴平面.

（Ⅱ）设，如图，以点为坐标原点，

分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.

则，，.

由（Ⅰ）知平面，∴.

又∵，，∴平面.

∴是平面的一个法向量，

易知是平面的一个法向量.

∴ .

解得，

即的长为1.