题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率
，椭圆上的点到左焦点
的距离的最大值为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知直线
与椭圆交于
、
两点.在
轴上是否存在点
，使得
且
，若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）椭圆上的点到左焦点
的距离最大值为a+c,再结合离心率可得a和c的值，再由
可得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得丨MN丨，由
，P在线段MN的中垂线上，利用韦达定理求出
中点D的坐标，写出直线PD的方程，令x=0得
，平方后即可求得m范围；
（1）由题设条件可得
，
，
解得
，
，所以，
，
椭圆的标准方程为：
（2）设
，
，
则
整理得：
，
则
，
则
，
，
假设存在点
满足题意，
，
则
，
化简整理得
，
此时判别式
恒成立，
所以
且
，
设中点
，则
，
，
由，则
在线段的中垂线上.
因为，直线
的方程为：
，
令
，则
∴
∴
∵，∴
，∴
∴
∴
或
.
即：
.
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