Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，其左焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，在第一象限，，过点做轴的垂线交椭圆于点，连接并延长交椭圆于另一点.设直线的斜率分别为，证明：为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）先由抛物线方程求得抛物线的焦点，可得c=1，再由椭圆的离心率可求得a，再由a，b，c的关系可以求出b，然后得到椭圆的方程.

（2）由直线过x轴上定点，所以设出直线的横截式方程，先计算B点坐标，又因为，所以根据线段的比例关系可以得到A的坐标，再由对称关系得到D点坐标，由两点式计算直线DT的斜率，然后求比值.

（1）由题意可知题意的左焦点为，因为离心率为，

所以，

所以题意的方程为.

（2）设直线的方程为，（），则

，可求得；

因为，

所以，且，

所以，

所以为定值.