Question

7．已知正数数列{a_n}满足：a₁=1，n∈N^*时，有$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{1-{a}_{n}}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）试问a₃•a₆是否为数列{a_n}中的项，若是，是第几项，若不是，说明理由；
（3）设c_n=a_n•a_n+1（n∈N^*），若{c_n}的前n项之和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{1-{a}_{n}}$，化为：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）a₃•a₆=$\frac{1}{5}×\frac{1}{11}$=$\frac{1}{55}$=$\frac{1}{2×28-1}$，即可判断出结论．
（3）c_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{1-{a}_{n}}$，化为：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
（2）a₃•a₆=$\frac{1}{5}×\frac{1}{11}$=$\frac{1}{55}$=$\frac{1}{2×28-1}$=a₂₈，
∴a₃•a₆为数列{a_n}中的第28项．
（3）c_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴{c_n}的前n项之和为S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．