Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

 

Answer 1

答案：
解析：

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， ∴四边形AOEM是平行四边形， ∴AM∥OE. ∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS， ∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF， ∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线定理得BS⊥DF. ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角. 在RtΔASB中， ∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º. （Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，， ∴PQ⊥平面ABF，平面ABF， ∴PQ⊥QF. 在RtΔPQF中，∠FPQ=60º， PF=2PQ. ∵ΔPAQ为等腰直角三角形， ∴ 又∵ΔPAF为直角三角形， ∴， ∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点.