Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大小；
（2）在线段AC上找一点P，使PF与AD所成的角为60°，试确定点P的位置．

Answer 1

分析：（1）以

CD

，

CB

，

CE

为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面ADF，DFB的法向量，即可求得二面角A-DF-B的大小；
（2）求出向量PF，AD的坐标，利用PF与AD所成的角为60°，结合夹角公式，即可确定点P的位置．

解答：解：（1）以

CD

，

CB

，

CE

为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，A(

2

，

2

，0)，
∴面ADF的法向量

t

=（1，0，0），

BD

=(

2

，-

2

，0)，

BF

=（

2

，0，1）．
设面DFB法向量

n

=(a，b，c)，则

n

•

BD

=0，

n

•

BF

=0，
所以

2 a- 2 b=0 2 a+c=0

，令a=1，得

n

=(1，1，-

2

)，
∴cos＜

n，

t

＞=

1

2

，
∴二面角A-DF-B的大小60°
（2）设P(a，a，0)(0≤a≤

2

)，
∴

PF

=(

2

-a，

2

-a，1)，

CB

=(0，

2

，0)，
∵＜

PF

，

CB

＞=60°，
∴cos60°=

2 ( 2 -a)

2 × 2( 2 -a)2+1

=

1

2

，
解得a=

2

2

故存在满足条件的点P为AC的中点．

点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是用坐标表示点，利用数量积解决夹角问题．