Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当

MN

BN

最小时，CN=

5 -1

2

．

Answer 1

分析：通过三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范围，然后求解即可求得结论．

解答：解：易证△AOM≌△CON，则AM=CN=x
设CN=x，经过点N作NE⊥AB
则四边形NEBC为矩形
∴NE=BC=1，BE=CN=x
则ME=（1-x）-x=1-2x（或2x-1）
∴MN²=EM²+EN²=2-4x+4x²
BN²=BC²+CN²=1+x²
令2-4x+4x²=t（1+x²），整理
﹙t-4﹚x²+4x+t-2=0有实根
∴16-4（t-4）（t-2）≧0
解得：3-

5

≤t≤3+

5

∴当

MN

BN

取最小值时，
即t取最小值3-

5

，x=

5 -1

2

即CN=

5 -1

2

，
故答案为：

5 -1

2

点评：本题考查学生分析解决问题的能力，考查学生的探究能力，属于中档题．