Question

已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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恒成立，且当x＞0时，f（x）＞-

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恒成立．
（1）求f（0）的值，并列举满足题设条件的一个具体函数；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数恒成立问题

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令y=0得，f（x）=f（x）+f（0）+

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，从而求f（0），从而由恒成立猜函数的可能；
（2）先判断函数的单调性，再由定义法证明．

解答： 解：（1）令y=0得，
f（x）=f（x）+f（0）+

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；
故f（0）=-

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；
由f（x+y）=f（x）+f（y）+

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知，
f（x）=x-

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即是满足题设条件的一个具体函数；
（2）f（x）在R上单调递增，证明如下，
令x+y=0得，f（0）=f（x）+f（-x）+

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，
-f（x）=f（-x）+1，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1
=f（x₂-x₁）+

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，
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）+

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＞0；
故f（x₂）-f（x₁）＞0；
故f（x）在R上单调递增．

点评：本题考查了函数的性质与应用，同时考查了函数的单调性的证明，属于中档题．