Question

已知函数f(x)＝2cos²x―sin(2x―).
（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)＝,b＋c＝2，求实数a的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）所以函数的最大值为2，取最大值时的取值集合；（Ⅱ）实数的最小值为1．

试题分析：（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合，首先将化为一个角的一个三角函数，因此利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数得，即可求得函数的最大值为2，从而可得取最大值时的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，故，可求得角的值为，在中，因为，可考虑利用余弦定理来解，由余弦定理得，，即可求得实数的最小值．
试题解析：（Ⅰ）f(x)=2cos²x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)
=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1                     (3分)
所以函数的最大值为2.                                (4分)
此时sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(kz)  解得x=kπ+(kz)
故x的取值集合为{x| x=kπ+，kz}                      (6分)
（Ⅱ）由题意f(A)=sin(2A+)+1=,化简得sin(2A+)=，
∵A（0，π）,  2A+(,).  A=            (8分)
在三角形ＡＢＣ中，根据余弦定理，
得a²＝b²＋c²－2bc·cos=（b+c)²-3bc                      (10分)
由b+c="2" 知bc()²="1," 即a²1 
当b=c=1时,实数a的最小值为1.                          (12分)