Question

19．已知F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点，l₁，l₂为C的两条渐近线，点A在l₁上，且FA⊥l₁，点B在l₂上，且FB∥l₁，若$|{FA}|=\frac{4}{5}|{FB}|$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设右焦点F（c，0），双曲线的两条渐近线方程为l₁：y=$\frac{b}{a}$x，l₂：y=-$\frac{b}{a}$x．由点到直线的距离公式，计算可得|FA|，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得直线FB的方程，联立直线l₂，可得交点B的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设F（c，0），双曲线的两条渐近线方程为l₁：y=$\frac{b}{a}$x，l₂：y=-$\frac{b}{a}$x．①
则F到直线l₁的距离|FA|=$\frac{|bc-0|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
由FB∥l₁，可得直线FB的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），②
由①②可得x=$\frac{1}{2}$c，y=-$\frac{bc}{2a}$，
即有B（$\frac{1}{2}$c，-$\frac{bc}{2a}$），
|FB|=$\sqrt{（c-\frac{1}{2}c）^{2}+（\frac{bc}{2a}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$c$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}}{a}$，
由$|{FA}|=\frac{4}{5}|{FB}|$，
可得b=$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}}{a}$，即2c²=5ab，
两边平方可得4c⁴=25a²b²=25a²（c²-a²），
由e=$\frac{c}{a}$，可得4e⁴-25e²+25=0，
解得e²=5或e²=$\frac{5}{4}$，
即为e=$\sqrt{5}$或e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．