Question

已知集合A={x|x²-（2+4m）x+8m=0}，B={x|x＜0}，若命题“A∩B=∅”是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由命题“A∩B=∅”是假命题，得到A∩B≠∅，即方程x²-（2+4m）x+8m=0至少有一个负根，然后分方程的两个根均为负值，和一正一负分类求解实数m的取值范围．

解答： 解：∵A∩B=∅是假命题，
∴A∩B≠∅．
∵B={x|x＜0}，
方程x²-（2+4m）x+8m=0的判别式△=（2+4m）²-32m=4（2m-1）²≥0，
若方程x²-（2+4m）x+8m=0的两根x₁，x₂均非负，则有

x1+x2=2+4m＜0 x1x2=8m＞0

，解得m∈∅；
若方程x²-（2+4m）x+8m=0的两根x₁，x₂一正一负，
则f（0）=8m＜0，即m＜0．
综上，实数m的取值范围是{m|m＜0}．

点评：本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．