Question

某商家举办购物抽奖活动，盒中有大小相同的9张卡片，其中三张标有数字1，两张标有数字0，四张标有数字-1，先从中任取三张卡片，将卡片上的数字相加，设数字和为n，当n＞0时，奖励奖金10n元；当n≤0，无奖励．
（1）求取出的三个数字中恰有一个-1的概率．
（2）设x为奖金金额，求x的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）利用排列组合公式，我们易计算出“该幸运观众摸球三次就停止”的个数，及所有事件的总个数，代入古典概型公式，即可得到答案．
（2）根据题意可得X的可能值为0，10，20，30，分别计算出X分别取0，10，20，30时的概率，可得到X的分布列，代入期望公式求出数学期望EX的值．

解答： 解：（1）设“取出的三个数字中恰有一个-1”为事件A，由题意知是一个等可能事件的概率，
试验发生的所有事件是从9张卡片中取三个，共有C₉³种结果，而事件A是取到只有一个-1，共有C₄¹C₅²，
则P（A）=

C 1 4 C 2 5

C 3 9

=

10

21

，
（2）X的可能取值是：0，10，20，30，其概率计算与（1）解释同理．
①任取三张卡片都是-1，或任取三张卡片中两张是-1、一张是0，或任取三张卡片中两张是-1、一张是1，
任取三张卡片中两张是0、一张是-1，或任取三张卡片中以张是-1、一张是0、一张是1，
则P（X=0）=

C 3 4 + C 2 4 C 1 2 + C 2 4 C 1 3 + C 2 2 C 1 4 + C 1 4 C 1 2 C 1 3

C 3 9

=

31

42

，
②任取三张卡片中两张是1、一张是-1，或任取三张卡片中两张是0、一张是1，
则P（X=10）=

C 2 3 C 1 4 + C 2 2 C 1 3

C 3 9

=

5

28

，
③任取三张卡片中两张是1、一张是0，则P（X=20）=

C 2 3 C 1 2

C 3 9

=

1

14

，
④任取三张卡片都是1，则P（X=30）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，
∴X的分布列为：

X	0	10	20	30
P	31 42	5 28	1 14	1 84

∴EX=0+10×

5

28

+20×

1

14

+30×

1

84

=

25

7

．

点评：本题考查等可能事件的概率，离散型随机变量及其分布列、期望，要注意不重不漏，这是解答本题的易错点，熟练掌握古典概型的意义及概率计算公式、分类讨论的思想方法、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键．