Question

20．$cos（{α-\frac{β}{2}}）=-\frac{3}{5}$，$sin（{\frac{α}{2}-β}）=\frac{12}{13}$，且$\frac{π}{2}＜α＜π$，$0＜β＜\frac{π}{2}$，求cos（α+β）．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式求得cos（$\frac{α+β}{2}$）=cos[（α-$\frac{β}{2}$）-（$\frac{α}{2}$-β）]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（α+β）的值．

解答 解：∵$cos（{α-\frac{β}{2}}）=-\frac{3}{5}$＜0，$sin（{\frac{α}{2}-β}）=\frac{12}{13}$＞0，且$\frac{π}{2}＜α＜π$，$0＜β＜\frac{π}{2}$，∴α-$\frac{β}{2}$为钝角，sin（α-$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-\frac{β}{2}）}$=$\frac{4}{5}$，
$\frac{α}{2}$-β为锐角，cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{α}{2}-β）}$=$\frac{5}{13}$，
求cos（$\frac{α+β}{2}$）=cos[（α-$\frac{β}{2}$）-（$\frac{α}{2}$-β）]=cos（α-$\frac{β}{2}$）cos（$\frac{α}{2}$-β）+sin（α-$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）=-$\frac{3}{5}$•$\frac{5}{13}$+$\frac{4}{5}•$$\frac{12}{13}$=$\frac{33}{65}$，
∴cos（α+β）=2${cos}^{2}\frac{α+β}{2}$-1=-$\frac{2047}{4225}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，二倍角的余弦公式，属于中档题．