Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，且S₃，S₉，S₆成等差数列，则q³等于（　　）

• A、-1或

  1

  2

• B、1或-

  1

  2

• C、1
• D、-

  1

  2

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得q≠1，由求和公式可得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=2

a1(1-q9)

2

，解关于q的方程可得．

解答： 解：若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．
∵a₁≠0，∵S₃+S₆≠2S₉，与已知矛盾，故q≠1．
由题意可得S₃+S₆=2S₉，∴

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=2

a1(1-q9)

2

可得整理得q³（2q⁶-q³-1）=0，由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．
分解因式可得（2q³+1）（q³-1）=0，
∵q≠1，q³-1≠0，∴2q³+1=0，
∴q³=-

1

2

故选：D

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．