Question

18．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：当x，y∈（-1，1）时，f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），并且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0；若P=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$），Q=f（$\frac{1}{2}$），R=f（0），则P、Q、R的大小关系为R＞Q＞P．

Answer 1

分析 在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取-1＜x＜y＜1，能说明$\frac{x-y}{1-xy}$∈（-1，0），所以说明f（ $\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，从而说明函数f（x）在（-1，1）上为减函数，再由已知等式把f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．

解答 解：取x=y=0，则f（0）-f（0）=f（0），所以，f（0）=0，
设x＜y，且满足-1＜x＜y＜1，则-1＜$\frac{x-y}{1-xy}$＜0，所以f（ $\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，
又f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），
所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（-1，1）上为减函数，
由f（x）-f（y）=f（ $\frac{x-y}{1-xy}$），得：f（x）=f（y）+f（$\frac{x-y}{1-xy}$），
取y=$\frac{1}{3}$，$\frac{x-y}{1-xy}$=$\frac{1}{4}$，则x=$\frac{7}{13}$，
所以P=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{7}{13}$），
因为0＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{7}{13}$，所以f（0）＞f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{7}{13}$）
所以R＞Q＞P．
故答案为：R＞Q＞P．

点评 本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，属于中档题．