题目内容

【题目】一个几何体的三视图如下图所示，其中主视图与左视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形．

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）直观图见解析，；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）体积是；（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的倍，故用个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为的正方体；（Ⅲ）平面与平面所成二面角的余弦值=.

试题解析：本题的构图方式是通过三视图来给出，并且更为重视对空间几何体的认识.

（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面是边长为6的正方形，高PD=6，故所求体积是.

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的倍，故用个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为的正方体，即由四棱锥组成。其拼法如图2所示.

（Ⅲ）因的边长，，所以，而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为.

练习册系列答案
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【题目】下列命题中不正确命题的个数是（ ）

①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直

②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直

③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行

④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直

A．1 B．2

C．3 D．4

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（1）证明： ；

（2）根据（1）证明： .

（B）已知函数， .

（1）用分析法证明： ；

（2）证明： .

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