Question

【题目】已知函数， .

（1）证明： ；

（2）根据（1）证明： .

（B）已知函数， .

（1）用分析法证明： ；

（2）证明： .

Answer 1

【答案】（A）（1）详见解析;（2）详见解析. （B）（1）详见解析;（2）详见解析.

【解析】试题分析：（A）（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以，可以得到一个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.（2）利用（1）的结论，将（1）右边的二次函数配方，求出其最小值，由此可证得，而，综上所述， .（B）（1）（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以，可以得到一个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.（2）由于时，有，所以，令，利用导数求得的最大值为，由此证得.

试题解析：

（A）解（1）由有，

要证，

只需证，

只需证，

只需证，因为成立，所以成立.

（2）因为，当且仅当时取等号，

又，

所以由（1）得.

（B）解（1）由有，

要证，

只需证，

只需证，

只需证，因为成立，所以成立.

（2）证法1 由得，

则，

设， ，

则，

则在上为增函数，

则，

所以.

证法2 由有，

设， ，则，设，

则，

∵，∴，则在时为增函数，

又， ，

∴存在，使得，即，

∴时， 为减函数， 时， ， 为增函数，

由， 有时， 有最大值0，即成立.

则成立.