Question

【题目】已知点是椭圆上任意一点，点到直线:的距离为，到点的距离为，且，直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.

（1）求椭圆的方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）设，则，，代入化简得；（2）先求得，得到直线的方程，代入椭圆方程求得，进而求得直线的方程；（3）直线方程入，写出根与系数关系，代入，化简得所以直线方程为，直线总经过定点.

试题解析：

（1）设，则， ，

∴，化简，得，∴椭圆的方程为.

（2），∴，

又∵，∴，.

代入解，得（舍）∴,

，∴.即直线的方程为.

（3）解法一：∵，∴.

设，，直线方程为.代直线方程入，得.

∴，，

∴

∴

∴，

∴直线方程为，

直线总经过定点.

解法二：由于，所以关于轴的对称点在直线上.

设，，，直线方程为.代入，得

.

∴，，

∴，，令，得.

又∵，，

∴.

∴直线总经过定点.