Question

12．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．
（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ；
（2）已知z=$\sqrt{3}$+i，试利用（1）的结论计算z¹⁰；
（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a²+b²≠0），求证：|zⁿ|=|z|ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．
（2）利用（1）的结论即可得出．
（3）由于$z=a+bi=\sqrt{{a^2}+{b^2}}（{\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}+\frac{b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}i}）$，可$记\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=cosθ，\frac{b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=sinθ$，利用（1）的结论．

解答 （1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；
2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）^k=coskθ+isinkθ，
则当n=k+1时，（cosx+isinθ）^k+1=（cosθ+isinθ）^k•（cosθ+isinθ）
$\begin{array}{l}=（{coskθ+isinkθ}）（{cosθ+isinθ}）\\=（{coskθcosθ-sinkθsinθ}）+i（{coskθsinθ+sinkθcosθ}）\\=cos（k+1）θ+isin（k+1）θ\end{array}$
∴当n=k+1时，命题成立；
综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ．]
（2）解：∵$z=\sqrt{3}+i=2（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}i}）=2（{cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}}）$，
∴${z^{10}}={（{cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}}）^{10}}=cos\frac{5}{3}π+isin\frac{5}{3}π=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
（3）解：$z=a+bi=\sqrt{{a^2}+{b^2}}（{\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}+\frac{b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}i}）$，
∵${（{\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}}）^2}+{（{\frac{b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}}）^2}=1$，
∴$记\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=cosθ，\frac{b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=sinθ$，
记$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=r（{r＞0}），则z=r（{cosθ+isinθ}）$，
∴zⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ），∴|zⁿ|=rⁿ=|z|ⁿ．

点评 本题考查了数学归纳法、复数的运算法则、模的计算公式、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．