Question

5．（Ⅰ）已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点P（-3，a）到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分焦点在x轴与焦点在y轴讨论，结合题意即可求得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）先确定抛物线的焦点一定在x轴负半轴上，故可设出抛物线的标准方程，再由抛物线的定义，点M到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得抛物线方程．

解答 解：（Ⅰ）若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
由题意$\left\{\begin{array}{l}2a=3×2b\\ \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=1\end{array}\right.$
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
若椭圆的焦点在y轴上，
设方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由题意$\left\{\begin{array}{l}2a=3×2b\\ \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=3\end{array}\right.$
∴椭圆方程为$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
故椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，或$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{9}=1$．
（Ⅱ）由已知设所求抛物线的方程为y²=-2px（p＞0），
则准线方程为$x=\frac{p}{2}$．
由定义知$\frac{p}{2}+3=5$，得p=4，
故所求方程为y²=-8x．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查分类讨论思想与方程思想，考查抛物线的定义，抛物线的标准方程及其求法，利用定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解决本题的关键．