Question

17．数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N*）．
（1）记d_n=a_n+1-a_n，求证：数列{d_n}是等比数列；
（2）若数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n项和为S_n，证明${S_n}＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用递推关系、“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴$\frac{{{d_{n+1}}}}{d_n}=\frac{{{a_{n+2}}-{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}-{a_1}}}=\frac{{3{a_{n+1}}-2{a_n}-{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{{2{a_{n+1}}-2{a_n}}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=2$，
∴数列{d_n}是等比数列，
∴d₁=a₂-a₁=1，q=2，
∴d_n=2^n-1．
（2）∵d_n=2^n-1，d_n=a_n+1-a_n，
∴${a_{n+1}}-{a_n}={2^{n-1}}$，
∴${a_2}-{a_1}={2^0}$，${a_3}-{a_2}={2^1}$，${a_4}-{a_3}={2^2}$…${a_n}-{a_{n-1}}={2^{n-2}}$
∴累加得：${a_n}-{a_1}={2^0}+{2^1}+…+{2^{n-2}}=\frac{{1-{2^{n-1}}}}{1-2}={2^{n-1}}-1$，
∴${a_n}={2^{n-1}}+1$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），n=1时，S_n=1$＜\frac{3}{2}$成立；
∴当n≥2时，S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、“累加求和”方法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．