Question

16．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，最小值为-2，图象过（$\frac{5π}{9}$，0），求该函数的解析式并求其单调区间．

Answer 1

分析 根据已知，求出函数的各个参数值，进而可得函数的解析式，结合正弦函数的图象和性质，可得函数的单调区间．

解答 解：∵函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，最小值为-2，
∴ω=3，A=2，
∴函数y=2sin（3x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象过（$\frac{5π}{9}$，0），
∴sin（$\frac{5π}{3}$+φ）=0，φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
故y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
x∈[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
故函数的单调递增区间为：[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
单调递减区间为：[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z

点评 本题考查的知识点是三角函数的图象和性质，根据已知，求出函数的解析式，是解答的关键．