Question

8．设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，满足S₃，S₂，S₄成等差数列，已知a₁+2a₃+a₄=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}，满足b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}|{a_n}|}}$，n∈N^*，记T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1，n∈N^*，若对于任意n∈N^*，都有aT_n＜n+4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由S₃+S₄=2S₂，得S₃-S₂+S₄-S₂=0，解得q=-2，由a₁+a₄=4-2a₃，得a₁=4．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}|{a_n}|}}=\frac{1}{n+1}$，得${b_n}{b_{n+1}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，由个利用裂项求和法求出T_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，从而得到$\frac{a}{2}＜\frac{（n+2）（n+4）}{n}$恒成立，设$f（n）=\frac{（n+2）（n+4）}{n}=n+\frac{8}{n}+6$，由函数的单调性能求出实数a的取值范围．

解答 解：（I）设数列{a_n}的公比为q，
由S₃+S₄=2S₂，得S₃-S₂+S₄-S₂=0，
即有a₃+a₄+a₃=0，得q=-2．
又a₁+a₄=4-2a₃，则${a_1}+{（-2）^3}{a_1}=4-2×4{a_1}$，得a₁=4．
故${a_n}=4×{（-2）^{n-1}}={（-2）^{n+1}}$．…（7分）
（II）由（I）知${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}|{a_n}|}}=\frac{1}{n+1}$，
则${b_n}{b_{n+1}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．∴${T_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$．…（10分）
依题意有$\frac{an}{2（n+2）}＜n+4$对于任意的正整数n恒成立，
即$\frac{a}{2}＜\frac{（n+2）（n+4）}{n}$恒成立．
设$f（n）=\frac{（n+2）（n+4）}{n}=n+\frac{8}{n}+6$，
由于$y=x+\frac{8}{x}+6$在区间$[{1，2\sqrt{2}}]$上为减函数，在区间$[{2\sqrt{2}，+∞}）$上为增函数，
而$2＜2\sqrt{2}＜3$，则$f{（n）_{min}}=min\left\{{f（2），f（3）}\right\}=min\left\{{12，\frac{35}{3}}\right\}=\frac{35}{3}$，
故有$\frac{a}{2}＜f{（n）_{min}}=\frac{35}{3}$，即有$a＜\frac{70}{3}$．
所以实数a的取值范围为$（-∞，\frac{70}{3}）$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法和构造法的合理运用．