Question

如图,在平面直角坐标系中,是半圆的直径,是半圆(除端点)上的任意一点.在线段的延长线上取点，使,试求动点的轨迹方程

Answer 1

点的轨迹方程为

试题分析：[解法一]连结,由已知可得,
∴ 点在以为弦,所对圆周角为的圆上．
设该圆的圆心为,则点在弦的中垂线上,即轴上,且,
∴,.圆的方程为.
当点趋近于点时,点趋近于点；当点趋近于点时,点趋近于点.
所以点的轨迹方程为
[解法二] 连结，由已知可得,
设,则
故若设直线的斜率为时,直线的斜率为.
故为两直线及的交点,消去得
,当时,也在该圆上.
结合可知,点的轨迹方程为
点评：解决该试题的关键是建立动点满足的关系式，设出点的坐标，建立关系式，将关系式坐标化，然后化简得到其轨迹方程，一般来说，先考虑运用定义法求解轨迹，再考虑运用直接法来求解，中档题。