题目内容

高斯函数[x]表示不超过x的最大整数，如[-2]=-2，[]=1，已知数列{xn}中，x1=1，xn=xn-1+1+3{[]-[]}（n≥2），则x2013=    ．
【答案】分析：当n=5k，5k+2，5k+3，5k+4时，=0；当n=5k+1时，=1．通过计算x2，x3，x4，x5，x6，x7…．
不难得出：x2013=2013+．
解答：解：①当n=5k，5k+2，5k+3，5k+4时，=0；②当n=5k+1时，=1．
∴x2=x1+1=2，x3=x2+1=3，x4=x3+1=4，x5=x4+1=5，x6=x5+4=9，x7=x6+1…．
因此可得：x2013=2013+=3219．
故答案为3219．
点评：正确理解新定义和找出规律是解题的关键．
练习册系列答案
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阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数；如[-2]=-2，[-1.5]=-2，[2.5]=2；则[log2
1
4
]+[log2
1
3
]+[log2
1
2
]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为
 
．
高斯函数[x]表示不超过x的最大整数，如[-2]=-2，[
2
]=1，已知数列{xn}中，x1=1，xn=xn-1+1+3{[
n-1
5
]-[
n-2
5
]}（n≥2），则x2013=
3219
3219
．
对于一切实数x，令[x]表示不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数．若an=f(
n
4
)，n∈N+，Sn为数列{an}的前n项和，则
lim
n→∞
n•a4n-1
S4n
=
1
2
1
2
．
设x∈R，用[x]表示不超过x的最大值整数，则y=[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有
 

①[-x]=-[x]
②x-1＜[x]≤x
③?x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]
④?x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]
⑤离实数x最近的整数是-[-x+
12
]．

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