Question

对于一切实数x，令[x]表示不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数．若an=f(

n

4

)，n∈N₊，S_n为数列{a_n}的前n项和，则

lim

n→∞

n•a4n-1

S4n

=

1

2

．

Answer 1

分析：由定义可知，a1=[

1

4

]=0，a2=[

2

4

]=0，a3=[

3

4

 ]=0，a₄=[1]=1，a5=[

5

4

]，a6=[

6

4

]=1，a7=[

7

4

]，a₈=[2]=2…a_4n=[n]=n，利用等差数列的求和公式可S_4n，把所求的a_4n及S_4n代入到所求的式子中，可求极限

解答：解：由题意可得，a1=[

1

4

]=0，a2=[

2

4

]=0，a3=[

3

4

 ]=0，
a₄=a₅=a₆=a₇=1，…a_4n=[n]=n
∴S_4n=a₁+a₂+…+a_4n=4（0+1+…+n-1）+n=n（2n-1）
∴

lim

n→∞

na4n-1

S4n

=

lim

n→∞

n2-1

n(2n-1)

=

lim

n→∞

1- 1 n

2- 1 n

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉定义，将问题转化为已知等差数列的求和问题去解决