Question

9．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的右顶点、右焦点的一个圆的圆心（4，y₀）在该椭圆上，则y₀=$±\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 椭圆的右顶点为（5，0），右焦点$（\sqrt{25-{b}^{2}}，0）$，由题意可得：$\frac{5+\sqrt{25-{b}^{2}}}{2}$=4，b＞0，解得b．把圆心（4，y₀）代入椭圆方程即可得出．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的右顶点为（5，0），右焦点$（\sqrt{25-{b}^{2}}，0）$，
由题意可得：$\frac{5+\sqrt{25-{b}^{2}}}{2}$=4，b＞0，解得b=4．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
∵圆心（4，y₀）在该椭圆上，
∴$\frac{{4}^{2}}{25}+\frac{{y}_{0}^{2}}{16}$=1，
解得：y₀=$±\frac{12}{5}$．
故答案为：$±\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．