Question

18．函数f（x）=$\frac{ax+2015b}{{x}^{2}+1}$是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{10}$．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）写出f（x）的单调减区间，并判断f（x）有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需说明理由）

Answer 1

分析 （1）根据题意f（x）在原点有定义，且为奇函数，从而f（0）=0，这样便可求出b=0，再根据$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$即可求出a=1，从而得出f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（2）根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，证明f（x₁）＜f（x₂），便可得出f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）根据（2）的作差后得到的$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，便可看出x₁，x₂∈（-∞，-1]，或x₁，x₂∈[1，+∞）时，f（x₁）＞f（x₂），从而便得出f（x）的单调递减区间，这样根据f（x）在R上的单调性便可得出f（x）的最小值和最大值．

解答 解：（1）f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数；
∴f（0）=0；
即$\frac{0+2015b}{0+1}=0$；
∴b=0；
∴$f（x）=\frac{ax}{{x}^{2}+1}$；
又$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$；
∴$\frac{\frac{a}{3}}{\frac{1}{9}+1}=\frac{3}{10}$；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（2）证明：设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（x）的单调减区间为（-∞，-1]，[1，+∞）；
当x=-1时，f（x）取最小值$-\frac{1}{2}$；当x=1时，f（x）取最大值$\frac{1}{2}$．

点评 考查奇函数在原点有定义时，f（0）=0，已知函数求值的方法，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后为分式的一般要通分，一般提取公因式x₁-x₂，根据函数单调性求函数最值的方法．