Question

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线m≤φ（x）_min的斜率为，那么，x∈（1，e）是定值吗？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由l与圆相切，知m²=1+k²，由，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，故k的取值范围为（-1，1）．由此能求出x₂-x₁取最小值．
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），所以==，由此能求出为定值．
解答：解：（Ⅰ）∵l与圆相切，
∴，
∴m²=1+k²①
由，
得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，
∴，
∴k²＜1，
∴-1＜k＜1，
故k的取值范围为（-1，1）．
由于，
∵0≤k²＜1
∴当k²=0时，x₂-x₁取最小值．（6分）
（Ⅱ）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴，
∴
=
=
=
=
=，
由①，得m²-k²=1，
∴为定值．（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．