Question

已知函数f（x）=acosx+bx²-

2

x，若f′（x₀）=0则f′（-x₀）=（　　）

• A、0
• B、2a
• C、2b
• D、-2

  2

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，令辅助函数g（x）=-asinx+2bx，得到f′(x)=g(x)-

2

，由f′（x₀）=0求得g(x0)=

2

，结合函数g（x）为奇函数可求得f′（-x₀）的值．

解答： 解：由f（x）=acosx+bx²-

2

x，得：
f′(x)=-asinx+2bx-

2

，
令g（x）=-asinx+2bx，
∵g（-x）=-asin（-x）-2bx=asinx-2bx=-（-asinx+2bx）=-g（x），
∴g（x）为奇函数．
∵f′（x₀）=g(x0)-

2

=0，
∴g(x0)=

2

．
则f′（-x₀）=g(-x0)-

2

=-g(x0)-

2

=-2

2

．
故选：D．

点评：本题考查导数的运算，考查了函数奇偶性的性质，解答此题的关键是构造函数g（x）=-asinx+2bx，属中档题．