Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B为菱形，AA₁=4，AC=3，BC=B₁C=5，∠ABB₁=60°，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求直线AA₁与平面CB₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知结合勾股定理可证得AC⊥AB且AC⊥AB₁，再由线面垂直的判定定理得到AB?平面AA₁B₁B，进而AC⊥B₁D，进而根据等边三角形三线合一，得到AB⊥B₁D，再由线面垂直的判定定理得B₁D⊥平面ABC，进而得到B₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）以D为坐标原点建立空间坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出直线AA₁的方向向量和平面CB₁D的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（I）∵四边形AA₁B₁B为菱形，
∴AB=AA₁=4，
又∵AC=3，BC=B₁C=5，
∴BC²=AB²+AC²，
即AC⊥AB，
连接AB₁，
∵∠ABB₁=60°，
∴AB₁=AB=4，
∴B1C2=AB12+AC2，
即AC⊥AB₁，
又∵AB₁∩AB=A，AB₁，AB?平面AA₁B₁B，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，
又∵B₁D?平面AA₁B₁B，
∴AC⊥B₁D，
又∵D为AB的中点，
∴AB⊥B₁D，
又∵AC∩AB=A，AC，AB?平面ABC，
∴B₁D⊥平面ABC，
又∵BC?平面ABC，
∴B₁D⊥BC，
又∵BC∥B₁C₁，
∴B₁D⊥B₁C₁；
解：（II）以D为坐标原点建立空间坐标系，

则D（0，0，0），B₁（0，2

3

，0），C（-2，0，3），A（-2，0，0），A₁（-4，2

3

，0），
∴

DB1

=（0，2

3

，0），

DC

=C（-2，0，3），

AA1

=（-2，2

3

，0），
设平面CB₁D的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由

n ⊥ DB1 n ⊥ DC

得：

n • DB1 =0 n • DC  =0

，
即

2 3 y=0 -2x+3z=0

，
令x=3，则

n

=（3，0，2），
设直线AA₁与平面CB₁D所成角为θ，
则sinθ=

| n • AA1 |

| n |•| AA1 |

=

6

13 ×4

=

3 13

26

．

点评：本题考查的知识点是空间线面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，是空间立体几何的简单综合应用，难度中档．