Question

8．关于x的不等式|$|\begin{array}{l}{x+a}&{2}\\{1}&{x}\end{array}|$＜0的解集为（-1，b）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂为纯虚数，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：-1，b是方程x²+ax-2=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．
（2）z₁z₂=（-cosα-2sinα）+（2cosα-sinα）i为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出．

解答 解：（1）不等式|$|\begin{array}{l}{x+a}&{2}\\{1}&{x}\end{array}|$＜0即x（x+a）-2＜0的解集为（-1，b）．
∴-1，b是方程x²+ax-2=0的两个实数根，∴-1+b=-a，-b=-2，
解得a=-1，b=2．
（2）z₁z₂=（-1+2i）（cosα+isinα）=（-cosα-2sinα）+（2cosα-sinα）i为纯虚数，
∴-cosα-2sinα=0，2cosα-sinα≠0，
解得tanα=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．