Question

设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，当|x|≤1时，总有|f(x)| ≤1，求证：|f(2)| ≤8．

Answer 1

答案：
解析：

证明：由题设，知|f(0)| ≤1，∴|c|≤1．① 　　又∵2b＝f(1)－f(－1)， 　　∴|2b|＝|f(1)－f(－1)| ≤|f(1)|＋|f(－1)| ≤2． 　　∴|b|≤1．② 　　∵2a＝f(1)＋f(－1)－2c， 　　∴|2a|＝|f(1)＋f(－1)－2c|≤|f(1)|＋|f(－1)|＋2|c|≤4， 　　∴|a|≤2．③ 　　由①②③，得|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|f(1)＋3a＋b|≤|f(1)|＋3|a|＋|b|≤1＋6＋1＝8．得证． 　　思路分析：本题可巧妙运用绝对值定理，对函数值进行放缩，注意到f(2)＝4a＋2b＋c，故先求|a|，|b|，|c|的范围，从而求出|f(2)| ≤8．