Question

设f(x)＝ax²＋bx＋c，若，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²＋≤f(x)≤2x²＋2x＋对一切实数x都成立？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：由，得a＋b＋c＝．令x2＋＝2x2＋2x＋xx＝－1．由f(x)≤2x2＋2x＋，推得f(－1)≤．由f(x)≥x2＋，推得f(－1)≥．∴f(－1)＝． 　　∴a－b＋c＝． 　　故2(a＋c)＝5，a＋c＝且b＝1． 　　∴f(x)＝ax2＋x＋(－a)． 　　依题意，知ax2＋x＋(－a)≥x2＋对一切x∈R成立， 　　∴a≠1且Δ＝1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0． 　　∴．∴f(x)＝x2＋x＋1． 　　易验证x2＋x＋1≤2x2＋2x＋对x∈R都成立． 　　∴存在实数，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋≤f(x)≤2x2＋2x＋对一切x∈R都成立． 　　思路分析：本题主要应用判别式法解决二次函数恒成立问题，同时尽量寻找等量关系减少变量的个数．