给出下列四个命题:①函数f上存在零点,②要得到函数y=sinx的图象.只需将函数y=cos的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位,③若f′(x0)=0.则函数y=f(x)在x=x0处取得极值,④“a=1 是“函数f(x)=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域上是奇函数的充分不必要条件,⑤已知{an}为等差数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．给出下列四个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位；
③若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值；
④“a=1”是“函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；
⑤已知{a_n}为等差数列，若$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，且它的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取得最小正值时，n=20．
⑥满足条件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的序号是①④．

分析由函数零点存在性定理判断①；利用诱导公式化函数y=sinx为y=cos（x-$\frac{π}{2}$），然后利用左加右减的原则，确定平移的单位与方向判断②；举例说明③错误；利用奇函数的定义判断④；要求S_n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a_n小于或等于0，而a_n+1大于0，由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，得到a₁₁＜0＜a₁₀，根据等差数列的性质，求出当S_n取得最小正值时n的值判断⑤；由正弦定理求解三角形判断⑥．

解答解：①f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，①正确；
②函数y=sinx化为y=cos（x-$\frac{π}{2}$），要得到此函数的图象，
只需将函数y=cos（x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=cos（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，②错误；
③例如f（x）=x³，f′（x）=3x²，f′（0）=0，f（x）在R上是增函数，无极值，③错误；
④当a=1时，f（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$，f（-x）=$\frac{1-{e}^{-x}}{1+{e}^{-x}}=\frac{{e}^{x}（1-{e}^{-x}）}{{e}^{x}（1+{e}^{-x}）}=\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}=-f（x）$；
反之，若f（-x）=-f（x），则$\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}=-$$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，整理得，（a²-1）（e^x+e^-x）=0．
∴a²-1=0，即a=±1．即“a=1”是“函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确；
⑤：∵S_n有最小值，∴d＜0，则a₁₀＞a₁₁，
又$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，∴a₁₁＜0＜a₁₀，a₁₀+a₁₁＜0，
则S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，S₁₉=19a₁₀＞0．
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂，∴S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁．
又∵S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，∴S₁₉为最小正值．⑤错误；
⑥由正弦定理：$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，∴sinC=$\frac{AB•sinB}{AC}=\frac{1•sin60°}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
∵AB＜AC，∴C＜B=60°，故只有一解C=30°，⑥错误．
故答案为：①④．