Question

12．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点相同，记为F，设点M是两曲线在第一象限内的公共点，且|MF|=$\frac{5}{3}$，则M点的横坐标是$\frac{2}{3}$，a+b=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），准线x=-1．设M（x₀，y₀），由|MF|=$\frac{5}{3}$，利用抛物线的定义，解得x₀．由于椭圆C₁与抛物线C₂的交点P在第一象限内，可得y₀．可得M坐标，代入椭圆方程，又c=1，a²=b²+c²，联立解得即可得出a，b，进而得到a+b的值．

解答 解：抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），准线x=-1．
设M（x₀，y₀），由|MF|=$\frac{5}{3}$，
∴x₀+1=$\frac{5}{3}$，解得x₀=$\frac{2}{3}$．
∵椭圆C₁与抛物线C₂的交点M在第一象限内，
∴y₀=$\sqrt{4×\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．
代入椭圆方程可得$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{3{b}^{2}}$=1，又c=1，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有a+b=2+$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$，2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，运用抛物线的定义和椭圆方程是解题的关键，属于中档题．