Question

（2012•江苏一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析：（1）取BC中点G，连接AG，EG，通过证明四边形EGAD是平行四边形，推出ED∥AG，然后证明DE∥平面ABC．
（2）证明AD∥平面BCE，利用V_E-BCD=V_D-BCE=V_A-BCE=V_E-ABC，然后求解几何体的体积．

解答：解：（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，
因为E是B₁C的中点，所以EG∥BB₁，
且EG=

1

2

BB1．
由直棱柱知，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，而D是AA₁的中点，
所以EG∥AD，EG=AD（4分）
所以四边形EGAD是平行四边形，
所以ED∥AG，又DE?平面ABC，AG?平面ABC
所以DE∥平面ABC．  （7分）
（2）解：因为AD∥BB₁，所以AD∥平面BCE，
所以V_E-BCD=V_D-BCE=V_A-BCE=V_E-ABC，（10分）
由（1）知，DE∥平面ABC，
所以VE-ABC=VD-ABC=

1

3

AD•

1

2

BC•AG=

1

6

×3×6×4=12．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．