题目内容

(2012•江苏一模)设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(p,q为常数,n∈N*),如果:a1=2,a2=1,a3=q-3p.
(1)求p,q的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)是否存在正整数m,n,使
Sn-m
Sn+1-m
2m
2m+1
成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.
分析:(1)利用Sn+1=pSn+q,n取1,2,可得方程组,即可求p,q的值;
(2)利用和式,再写一式,两式相减,利用等比数列的通项公式,即可求数列{an}的通项公式;
(3)先求和,再化简不等式,确定m的取值,即可求得所有符合条件的有序实数对(m,n).
解答:解:(1)由题意,知
S2=pa1+q
S2=pS2+q
3=2p+q
3+q-3p=3p+q
,解之得
p=
1
2
q=2
…(4分)
(2)由(1)知,Sn+1=
1
2
Sn+2,①
当n≥2时,Sn=
1
2
Sn-1+2,②
①-②得,an+1=
1
2
an(n≥2),…(6分)
又a2=
1
2
a1,所以数列{an}是首项为2,公比为
1
2
的等比数列,
所以an=
1
2n-2
.…(8分)
(3)由(2)得,Sn=
2(1-
1
2n
)
1-
1
2
=4(1-
1
2n
)

Sn-m
Sn+1-m
2m
2m+1
,得
4(1-
1
2n
)-m
4(1-
1
2n+1
)-m
2m
2m+1
,即
2n(4-m)-4
2n(4-m)-2
2m
2m+1
,…(10分)
2
2n(4-m)-2
1
2m+1

因为2m+1>0,所以2n(4-m)>2,
所以m<4,且2<2n(4-m)<2m+1+4,①
因为m∈N*,所以m=1或2或3.…(12分)
当m=1时,由①得,2<2n×3<8,所以n=1;
当m=2时,由①得,2<2n×2<12,所以n=1或2;
当m=3时,由①得,2<2n<20,所以n=2或3或4,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为:(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).…(16分)
点评:本题考查等比数列的判断与通项的求解,考查数列与不等式的综合,考查方程组思想,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.
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